Voici, pour ceux qui sont intéressés par les nombre premiers, mon exposé sur les nombres premiers de leurs origine à Carl Friedrich Gauss.
AUX SOURCES DES NOMBRES PREMIERS.
Une brève histoire des nombres premiers des origines a Gauss
SOMMAIRE
I - PRÉSENTATION
Compter est inhérent à la nature humaine et l'utilisation de certains nombres, dits premiers, a dû rapidement intriguer les hommes.
Un nombre premier est un entier strictement supérieur à un dont les seuls diviseurs sont un et lui même.
Ces nombres depuis des millénaires ont fasciné bien des mathématiciens et on peut se demander la raison de cet attrait . Cela tient peut être au fait que les nombres premiers peuvent être assimilés aux « particules élémentaires » des nombres entiers. En effet tout nombre naturel est le produit de façon unique (à l'ordre près des facteurs) de nombres premiers.
Si le problème de leur nombre a été résolu par Euclide, d'autres questions se sont révélées plus ardues, comme par exemple, celles de leur reconnaissance et de leur distribution parmi les nombres naturels.
Aussi Gauss écrivait-il « Le problème de la distinction entre nombre premier et nombre composé, et celui de la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers sont les plus importants et les plus utiles de toute l'arithmétique... L'honneur de la science semble exiger qu'on cultive avec zèle tout progrès dans la solution de ces élégantes et célèbres questions. »
Depuis Euclide qui a formalisé les premières propriétés des nombres premiers, de nombreux mathématiciens comme Fermat,Pascal, Euler, Gauss, Riemann et beaucoup d'autres, ont cherché à résoudre les nombreuses questions qu'ils soulèvent et ont ainsi contribué à appréhender leur nature .
Cet exposé ne pourra donc pas embrasser tous les mathématiciens qui se sont penchés sur les nombres premiers et nous devrons nous limiter à évoquer les premiers travaux, sans entrer dans les interrogations des mathématiciens de l'ère moderne.
II - PRÉHISTOIRE
L'OS D'ISHANGO
Les premières traces concernant les nombres premiers semblent remonter à la préhistoire.
Il a été découvert sur les rives du lac Édouard, au Zaïre, un os datant de 8000 à 20.000 ans (conservé à l'Institut Royal des sciences naturelles de Belgique, à Bruxelles) sur lequel des séries d'entailles sont disposées en rangées. Certaines séries correspondent aux nombres 11,13, 17,19, c'est-à-dire aux nombres premiers entre 10 et 20.
La signification à attribuer à ces encoches a été diversement interprétée par les historiens. Celle d'une première réflexion des hommes sur les nombres premiers est très plausible. En effet, depuis la nuit des temps , les hommes, dans leur tâche quotidienne, sont confrontés au partage et ont dû remarquer que certains nombres se divisaient en parties égales et d'autres non .
III – ANTIQUITE
A - LES ÉGYPTIENS ET LES BABYLONIENS
Ces civilisations pourtant avancées dans la compréhension de l'arithmétique ne laissent aucune trace d'une théorie sur les nombres premiers.
B - PYTHAGORE ET LES PYTHAGORICIENS (ENVIRON (500 AVANT NOTRE ÈRE)
Pythagore et ses disciples étaient passionnés par les nombres qu'ils tenaient pour la clef de l'univers « Tout est nombre » est une expression qui leur est attribuée.
Bien qu'ils aient cherché à garder leurs connaissances secrètes, des textes qui leur sont attribués nous sont parvenus grâce au traité de Nicomaque de Gerasse qui vécut plus de cinq siècles après les premiers pythagoriciens.
Les pythagoriciens devaient avoir étudié la notion de diviseurs nécessaire à leur étude des nombres parfaits (nombre égal à la somme de ses diviseurs, en comptant un, mais en excluant le nombre lui-même) ainsi qu'à leur représentation géométrique des nombres.
Ils avaient en effet l'habitude d'attribuer aux nombres des formes géométriques. Ainsi parlait il du « nombre triangulaire » (dont on peut disposer les unités en un triangle, ainsi 10 est égal à 1 + 2 +3 + 4), du « nombre carré » ( dont on peut disposer les unités en un carré, comme ) , et du « nombre composé »(dont on peut disposer les unités en un rectangle comme )
Les pythagoriciens ne pouvaient donc pas avoir été sans remarquer que certains nombres ne pouvaient ni se décomposer en un carré, ni en un rectangle non réduit à une ligne.Pythagore et ses disciples devaient donc certainement avoir connaissance des nombres premiers et de certaines de leurs propriétés .
C - PLATON ET ARISTOTE.
Chacun de ces philosophe fonda une école à Athènes, pour Platon (328 - 348 avant notre ère) ce fut l'Académie et pour Aristote (384 – 322 avant notre ère), son élève dissident, le Lycée.
Plus que dans Platon, c'est dans Aristote que l'on trouverait pour la première fois la notion de nombre premier (Organon IV, les seconds analytiques) :
« .Sont par soi en premier lieu....En second lieu, ce sont les attributs contenus dans les sujets qui sont eux-mêmes compris dans la définition exprimant la nature de ces attributs : c'est ainsi que le rectiligne et le rond appartienne à la ligne, le pair et l'impaire, le premier et le composé , le carré et l’oblong, au nombre ; et, pour tous ces attributs la définition qui exprime leur nature contient le sujet, à savoir tantôt la lignée, tantôt le nombre. »
En reconnaissant dans la primalité un attribut par soi du nombre, Aristote souligne l'importance de cette propriété que l'on ne peut retirer à ces nombres sans en changer l'essence.
D - EUCLIDE.
Euclide est également connu sous le nom d'Euclide d'Alexandrie .
Euclide est un mathématicien grec, souvent considéré comme le « père de la géométrie » .
On pense qu' Euclide aurait peut-être étudié à l'Académie de Platon à Athènes, puis il aurait travaillé à Alexandrie, en Égypte, vers 300 avant JC, sous le règne de Ptolémée Ier (323-283 avant JC) alors que celui-ci avait organisé le « Muséum », équivalent de nos universités, avec sa fameuse bibliothèque et avait fait d'Alexandrie le centre culturel du monde grec.
On sait peu sur la vie d'Euclide, et la représentation d'Euclide dans des œuvres d'art est le produit de l'imagination de l'artiste.
Illustration 1: Euclide (18) selon Raphael dans son tableau « l'Ecole d'Athènes» Noter l'abaque (à cire où à poussière?) sur laquelle il écrit
Son œuvre, sans doute issue des acquis de l'école pythagoricienne, est pour certains plus une œuvre collective que celle d'un seul homme, ce qui expliquerait l'émergence soudaine d'une théorie parfaite et des variations de style d'un livre à l'autre reportées par certains.
Beaucoup de ses œuvres ont été perdues mais la plus importante qui nous est restée est « les Éléments ». Les Éléments sont constitués de 13 livres où sont posés les fondements des mathématiques modernes. Ces livres traitent surtout des principes de ce que l'on appelle aujourd'hui la géométrie Euclidienne mais les livres VII VIII et IX se tournent vers la théorie des nombres et l'arithmétique.
Les « Éléments » ont été connus de façon tardive. Euclide en effet n'est mentionné que plusieurs siècles après qu'il ait vécu, par Proclus et Papus (Proclus , 412 -485 après JC, est le plus célèbre des philosophes de l'école néoplatonicienne. Presque toutes ses œuvres nous sont parvenues, dont le Commentaire sur le premier livre des Éléments d'Euclide, son chef d’œuvre.) .
Ce fut l'une des premières œuvres imprimées en 1482.
François Peyrard bibliothécaire à l'école polytechnique a fait la traduction en français en 1804.
« Les Éléments » est l'une des œuvres les plus influentes dans l' histoire des mathématiques.Les Éléments ont été pendant 2000 ans la base de la formation des mathématiciens du monde occidental et ont servi de manuel principal pour l'enseignement des mathématiques à partir du moment de sa publication jusqu'à la fin du 19e siècle. Y sont définis pour la première fois de nombreux concepts fondamentaux et certains axiomes sur lesquels reposent nos mathématiques modernes .
Dans le livre VII figure la première théorie des nombres premiers dont nous allons voir quelques pages.
Euclide, dans le livre VII de son œuvre «Les Éléments », commence par donner des définitions portant chacune un numéro (voir pièces jointes ) dont les suivantes
1 )L'unité est ce suivant quoi chacune des choses existantes est dite une
2 ).Le nombre est une multitude composée d'unité.…....
11 )Le nombre premier est celui qui est mesuré par la seule unité.
12 ) Les nombres premiers entre eux sont ceux qui sont mesurés par la seule unité comme commune mesure.
13 ) le nombre composé est celui qui est mesuré par quelques nombres.
Nous interpréterons ici sa définition du nombre comme un entier strictement supérieur à 1.
En outre l'idée de nombre est considérée par Euclide comme géométrique, ainsi accompagne t-il souvent ses démonstrations arithmétiques de dessins de segments de droite. L'expression « a mesure b» correspond à notre expression « a divise b et a différent de b»
Euclide fait suivre ses définitions de propositions avec leurs démonstrations. Les propositions suivantes que nous retiendrons sont à la base de la théorie des nombres premiers et sont encore enseignées aujourd'hui.
Nous donnons la numérotation et la traduction du livre de Bernard Vitrac. (voir pièces jointes figurant après l'exposé pages 18 à 21 pour les démonstrations d'Euclide.)
Proposition 29 (livre VII): '
Tout nombre premier est premier avec tout nombre qu'il ne mesure pas .
Proposition 30 (livre VII):
Si deux nombres se multipliant l'un l'autre produisent un certain nombre et si un certain nombre premier mesure leur produit, il mesurera aussi l'un des nombres initiaux.
La proposition 31 (livre VII):
Tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier.
La proposition 32 (livre (livreVII):
Tout nombre est soit premier soit mesuré par un certain nombre premier .
La proposition 14 ( livre IX) :
Si un nombre est le plus petit qui soit mesuré par des nombres premiers, il ne sera mesuré par aucun autre nombre premier , si ce n'est par ceux qui le mesurent initialement.
Proposition 20 (livre IX)
Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude proposée de nombres premiers
Commentaire des propositions :
La proposition 30 (livre VII) est considérée de nos jours comme une conséquence du théorème de Gauss , qui dit que si a, b, c sont des entiers tels que a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c
Les propositions 31 , 32 (livre VII) et 14 du livre IX sont à relier à ce qui est actuellement dénommé le théorème fondamental de l'arithmétique à savoir que tout entier strictement supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers et que cette représentation est unique à l'ordre près des facteurs premiers . Ce qui peut être aussi actuellement énoncé de façon plus explicite de la manière suivante :
Notons P, l'ensemble des nombres premiers
tels que et
Les propositions 31 et 32 du livre VII pourraient être formulées actuellement de la façon suivante:
« Tout entier strictement supérieur à 1 est divisible par un nombre premier»
La démonstration d'Euclide de la proposition 31 (voir feuille jointe) est l'exemple d'une démonstration dite par«descente infinie» qui est la combinaison d'une démonstration par récurrence et d'une démonstration par l'absurde; la récurrence n'est en fait pas formulée selon les normes actuelles mais de proche en proche. Ce genre de démonstration sera souvent utilisée par Pascal.
La phrase « ce qui est impossible dans les nombres» nous renvoie à la propriété formulée actuellement de la façon suivante: «tout sous ensemble non vide des entiers naturels admet un plus petit élément.», propriété intuitivement perçue à l'époque.
L'existence de la décomposition d'un entier en facteurs premiers, bien qu'elle ne soit pas formulée explicitement dans les proposition 31 et 32 du livre VII, nous y apparaît fortement sous-jacente.
En effet, d'après ces deux propositions, on peut facilement démontrer que tout nombre est soit premier, soit produit d'une famille de nombres premiers :
Soit A un entier > 1 . Si A n'est pas premier il admet un diviseur premier strict ( proposition31)
Soitun entier tel que .
Si est premier on a obtenu ce qui était cherché.
Sinon admet un diviseur premier strict et donc divise A, donc il existe un entier tel que . Donc de proche en proche A est produit de nombres premiers.
Mais Euclide ne disposait d'aucun calcul formel pour la multiplication et l'exponentiation.
En effet le produit de plus de trois nombres n'était pas défini explicitement par Euclide qui
ne l'introduit jamais directement, comme on peut le voir dans les démonstrations 14 du livre VII et 20 du livre IX.
Dans la démonstration de la proposition 14, A est « le plus petit nombre mesuré par les nombres premiers B, C, D, » ce qui signifie que A est le plus petit commun multiple de B , C et D . Ce que nous interpréterons (car B,C,et D sont premiers donc ils sont premiers entre eux)
En fait dans le proposition 34 du livre VII, Euclide montre que si deux nombres B et C sont premiers entre eux , leur plus petit commun multiple est mais il n'a pas généralisé ce résultat à plus de trois nombres. La notion de plus petit nombre mesuré est aussi étendue à une famille finie de nombres quelconques comme on peut le voir dans l'énoncé de la proposition 14 du livre IX. Cependant dans la démonstration de cette proposition, il considère le plus petit nombre mesuré de 3 nombres premiers.
La difficulté de l'époque d'exprimer un produit d'une famille finie quelconque de nombres est sans doute la seule entrave à la formulation explicite de l'existence de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers et à fortiori à sa démonstration. D'ailleurs à cette époque, cette décomposition était connue et utilisée en pratique.
Nous pourrons traduire la proposition 14 (livre IX) de la manière suivante : Un produit de nombres premiers n'est divisible par aucun autre nombre premier.
Pour démontrer cette proposition, Euclide utilise la proposition 30 du livre 7.
On pourrait interpréter la proposition 14 comme un cas particulier d'unicité de la décomposition en facteur premier d'un nombre . Ce cas particulier concernerait les entiers n tels que
avec premier et si mais « il y a là une difficulté, car tant que l'on ne connaît pas l'unicité de la décomposition, rien n’empêche un nombre d'admettre une décomposition dans la quelle aucun exposant n'est supérieur à 1 et une autre dans laquelle certains le sont. ».
Cependant l'existence de la décomposition n'étant pas formulée explicitement à l'époque, il était alors inconcevable de s’interroger sur l'unicité.
Il faudra attendre 1801 pour qu'une démonstration complète et explicite du théorème fondamental de l'arithmétique soit établie par Gauss au début de son ouvrage « Disquisitiones arithmeticae ».
La démonstration de ce théorème peut se faire actuellement, pour l'existence de la décomposition, par récurrence et pour l'unicité, par récurrence et en utilisant la proposition 30 d'Euclide.
La proposition 20 du livre IX est formulé actuellement par : il existe une infinité de nombres premiers.
Dans la proposition 20, le mot infini n'est pas prononcé, mais la notion d'infini transparaît clairement dans l'énoncé. En fait l'énoncé dit que pour tout entier n, pour toute famille de nombres premiers à n éléments il existe un nombre premier q tel que q Mais Euclide fait sa démonstration pou n=3, comme dans la proposition 14
La démonstration de la proposition 20 d’Euclide d'Euclide est utilisée de nos jours pour démontrer l'infinitude des nombres premiers avec des variantes insignifiantes : Ainsi écrit- on actuellement :
Supposons que l'ensemble des nombres premiers P soit fini et de cardinal n. Notons alors On pose . Comme tout nombre est premier ou possède un diviseur premier, il existe p appartenant à P tel que p divise x
Or p divise donc p divise 1, ce qui est absurde , donc l'ensemble des nombres premiers est infini.
On pourra remarquer chez Euclide un langage et un style proche du notre, avec définitions, propositions et démonstrations, qui sont, en général, d'une logique et d'une clarté étonnante. Euclide a fondé les bases de l'arithmétique encore utilisées de nos jours.
E - ÉRATOSTÈNE (276 avant notre ère- environ 194 avant notre ère)
C'est un mathématicien grec, né à Cyrène, aujourd'hui en Libye. Il étudia à Alexandrie, capitale des mathématiques grecques à cette période, puis à Athènes, avant de recevoir la direction de la bibliothèque d'Alexandrie.
On lui doit la reconnaissance des premiers nombres premiers qu'il sélectionne à l'aide de son crible que Nicomaque de Gérase décrit ainsi dans son texte de l' « introductio arithmética :
« Le crible se construit ainsi : j'écris successivement tous les impairs à partir de trois, en une rangée aussi longue que possible, et, en commençant par le premier (c'est-à-dire trois), j'examine quels sont ceux qu'il peut mesurer. Je trouve qu'il peut mesurer ceux qu'on obtient en passant deux nombres intermédiaires, aussi loin que nous voudrons avancer...
Puis après cela, prenant un autre point de départ, je considère le deuxième et j'examine quelles sont les nombres qu'il peut mesurer, et je trouve que ce sont tous ceux que l'on obtient en passant à chaque fois un groupe de quatre nombres... Recommençons encore une fois : le nombre, 7, devenant à son tour la mesure, mesurera ceux que l'on atteint en passant six nombres... et cela continue selon la même analogie sans rencontrer nulle part d'obstacle
Si donc tu affectes d'un indice les nombres ainsi mesurés tu trouveras que ceux qui jouent le rôle de mesures, ne mesurent jamais tous ensemble le même nombre...
Ceux qui ne se laissent mesurer d'aucune façon, échappant ainsi à la mesure, sont les nombres premiers et non composés, qui se trouvent ainsi séparés du reste comme par un crible. »
Ce crible nous permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre n donné ou plus généralement tous les nombres premiers d'un intervalle donné.
Il consiste à écrire tous les nombres d'un intervalle donné puis à éliminer méthodiquement les multiples des nombres premiers successifs déjà connus, en s'arrêtant à la racine carrée de la borne supérieure de l'intervalle. Les nombres restants sont les nombres premiers de l'intervalle.
De nos jours, cette méthode n'est malheureusement pas exploitable telle quelle pour connaître la primalité de grands nombres ( de l'ordre de ), les ordinateurs n'ayant pas d'espace mémoire suffisant pour stocker des ensembles de nombres trop grands. De plus, on connaît aujourd'hui d'autres méthodes pour tester la primalité d'un nombre quelconque d'au plus cent chiffres alors qu'un ordinateur ne pourrait pas stocker tous les nombres premiers inférieurs à .
Cette méthode à été cependant relise et adaptée dans les années 1920 par Vigo Brun. Elle à donnée naissance à la théorie du crible qui est une branche à part entière de l’arithmétique.
Les mathématiciens grecs furent paralysés par l'insuffisance de leurs notations et il fallut attendre plusieurs siècles pour observer des progrès tangibles dans ce domaine.
Il faut donc franchir le temps pour se retrouver avec des mathématiciens du XVII eme siècle
III - LES MATHÉMATICIENS DES XVII eme, XVIII eme ET DEBUT D U
I X eme SIECLE
Les nombres premiers vont connaître un nouveau souffle au XVII eme siècle grâce à un ecclésiastique français Marin Mersenne.
A - MARIN MERSENNE (1588 1648)
Marin Mersenne est un érudit français, figure centrale de la vie intellectuelle du XVII eme siècle, né à côté du Mans, dans une famille aisée.
Religieux de l'ordre des Minimes, il enseigne la philosophie à Nevers puis à PARIS où son couvent se trouve à côté de la Place des Vosges.
Amateur enthousiaste de mathématiques, il entretient une correspondance avec les scientifiques de son temps tels Descartes, Pascal ,Torricelli, et Fermat. A partir de 1635, il organise des réunions , souvent dans son couvent, avec les savants de son temps.
Il défend le rationalisme de Descartes et les théories de Galilée et s'oppose à l'alchimie et l'astrologie.
On lui doit de nombreuses traductions de mathématiciens grecs.
Il s'intéresse à la primalité des nombres de la forme .
Ces nombres étaient déjà connus d'Euclide qui savait que était premier pour n= 2,3,5,7.
Ils sont désignés sous le nom de Mersenne et notés depuis le 17 °siècle.
PIETRO CATALDI ( 1552 -1626) qui s'était également intéressé à ces nombres a montré que si est premier alors n est premier :
En effet si n>1 est composé, 1<a
Donc
or est composé
Mais la réciproque n'est pas vraie comme l'avait prouvé HUDAL RICHUS REGIUS en 1536 en montrant que n'est pas premier .
EN 1703 PIETRO CATALDI établit par la technique des divisions jusqu'à la racine carrée des nombres attestés que et sont des nombres premiers.
Il établi aussi la table des nombres premiers jusqu'à l'entier 750
Mersenne en 1664 donne, avec quelques erreurs, une liste des nombres premiers de la forme jusqu'à en affirmant que est premier pour n = 2, 3, 5,7,13,17,19,31,67,127,257 et composé pour les autres exposants jusqu'à 257.
Beaucoup de mathématiciens se sont penchés sur cette conjecture et sur ces nombres, dont Euler qui montre queest premier et I.Pervishin qui trouve en 1883 une première erreur dans la liste de Mersenne, en montrant que , absent de la liste, est premier. .
La pluspart des grands nombres premiers trouvés depuis lors sont des nombres de Mersenne pour lesquels il existe des tests de primalité.
Aujourd'hui on ne sait pas s'il existe une infinité de nombres de Mersenne premier, bien que ce soit très probable.
B – PIERRE de FERMAT (1601 ou 1607 - 1665)
« Le premier des hommes et je dois en parler en quelques lignes. » écrivait de lui Pascal
Issu de Famille aisée, il fait des études de droit à Toulouse et Bordeaux puis achète une charge de Conseiller au parlement de Toulouse.
Très occupé par sa charge, il aura peu de temps pour publier, ce qui limite la portée de son œuvre.
Figure incontournable des mathématiques du 17eme siècle, il échange du courrier avec Mersenne et Pascal.
Ses travaux concernent l'étude des courbes, l'arithmétique et le calcul des probabilités ( correspondance avec Pascal. ) et l'optique.
La traduction en latin des œuvres de Diophante par Bachet de Meziriac, qu'il lit à ses moments de loisirs, l'amène à l'arithmétique à qui il redonne vie, après une nuit presque totale de plus d'un millénaire .
Il n'écrit aucun articles, mais annote cet ouvrage de réflexions, conjectures et démonstrations de résultats qu'il énonce .
Son fils publiera ses notes dans un ouvrage posthume « Arithmética ».
On y trouve deux théorèmes qui portent son nom :
a) Le petit théorème de Fermat :
« Si p est un nombre premier, si est un entier tel que p ne divise pas a , alors p divise
»
Les premières démonstrations de ce théorème ne seront données que plus tard par Leibnitz et Euler.
La théorie des congruences a été crée par Gauss en 1801, mais elle est intuitivement perçue et utilisée par Fermat.
b) Le Grand théorème de Fermat (en marge de son Diophante) allait passionner les mathématiciens.
« L' équation n'a pas de solution avec x,y,z entiers et r supérieur ou égal à 3. »
Cette conjecture n'a été démontrée qu'en 1994 par le britannique Andrew Wiles.
Fermat montre :
-
Que tout nombre premier de la forme 4n+1 est d'une seule façon l'hypoténuse d'un triangle rectangle d'un côté entier. C'est à dire qu'il n'existe qu'un seul couple d'entiers (a,b) tels que
-
Qu'il n' existe pas d'entiers positifs x,y,z tels
Il conjecture :
-
Que tout nombre entier est somme de quatre carrés.(conjecture démontrée par Joseph Louis Lagrange un siècle après.)
-
Que tout nombre premier de la forme 4n+1 est la somme de deux carrés. (conjecture démontrée par léonard Euler en 1754.)
Fermat remarque que les nombres de la forme , nommés nombres de Fermat, sont premiers pour n =1,2,3, 4 et conjecture que cela est vrai pour tout entier n, mais Euler lui donnera tort en prouvant que le nombre de Fermat dont 641 est un diviseur, est composé. Cela serait la seule conjecture fausse de Fermat.
En 1880 F. Landry montrera que est composé.
On sait aujourd'hui que tous les nombres de Fermat de sont composés.
Aujourd'hui on ignore s'il existe une infinité de nombres de Fermat composés et s'il existe une infinité de nombres de Fermat premiers.
Fermat à marqué le monde mathématique par ses résultats sur la théorie des nombres.
C - LEONHARD EULER (1707-1783)
Fils et petit fils de pasteur protestant, il est né en Suisse, près de Bâle.
A 13 ans, il entre à l'université de Bâle où il étudie la philosophie et le droit et où les maths ne sont pas enseignés
En 1723 il obtient sa maîtrise de philosophie en soutenant une thèse comparant la philosophie de Descartes à celle de Newton.
Jean Bernoulli, ami de la famille, qui avait remarqué son talent, lui donne des cours de mathématiques et Euler deviendra l'ami de ses deux fils, Daniel et Nicolas .
En 1724 et 1725, il reste à l'université pour étudier la théologie et divers langues.
En 1727, il se voit offrir un poste à l'Académie de Saint-Pétersbourg, en physiologie et médecine, à l'âge de 26 ans, grâce à l'appui de Nicolas et Daniel Bernoulli. Il ne retournera jamais en Suisse.
Dès 1731, il a la chance d'être nommé professeur de physique.
En 1733, au départ de Daniel Bernoulli de Saint-Pétersbourg, il obtient la chaire de mathématiques à l' Académie, mais il est également responsable du département de géographie et à ce titre est chargé de dresser une carte de la Russie.
Cette année il se marie et aura 13 enfants. Il reste célèbre pour la patience qu'il déploie à jouer avec eux, tout en rédigeant un article
En 1738, il perd l'usage d'un œil.
En 1741, il rejoint l'Académie de Berlin, sur l'invitation de Frédérique le Grand et y restera 25 ans.
Il y publie ses grands ouvrages en particulier «l'Introduction à l'analyse» mais ne s'habitue jamais à l'ambiance de la cour.
Il publia à Berlin trois œuvres majeures sur le calcul différentiel.
En 1766, à 59 ans, il retourne à St Saint-Pétersbourg, sur l'invitation de Catherine II.
Peu après, il devient aveugle mais continue à travailler, dictant à ses deux fils et à d'autres collaborateurs . Il publia alors la moitié de son œuvre.
En1783, il meurt à Saint-Pétersbourg d'une attaque cérébrale alors qu'il boit le thé avec ses amis.
Son œuvre est colossale comprenant 866 travaux distincts. (classification de Gustave Enestrom)
Elle est réunie actuellement en 73 volumes dont 29 de mathématiques pures.
Il a influencé toutes les branches des mathématiques : analyse, algèbre, théorie de nombres,la mécanique, probabilité, géométrie.
Il s'occupa également, d'astronomie, de physique, d'artillerie, de balistique, de construction navale...
Il donna un nom à de nombreuses constantes mathématiques. Le langage mathématique utilisé actuellement est celui qu'il a contribué à créer
Condorcet dit de lui « Tout les mathématiciens célèbres qui existent aujourd'hui sont ses élèves, il n'en est aucun qui ne soit formé par la lecture de ses ouvrages qui n'ait reçu de lui les formules, qui dans ses découvertes ne soit guidé et soutenu par le génie d'Euler Il doit cet honneur à la révolution qu'il a produite dans les sciences mathématiques, à l'ordre qu'il a su mettre dans ses grands ouvrages; à la simplicité, à l'élégance de ses formules; à la clarté de ses méthodes et de ses démonstrations».
Les nombres premiers n'ont pas échappé à sa réflexion:
Il démontre le petit théorème de Fermat. Il introduit ce que nous nommons aujourd'hui la fonction indicatrice d'Indicatrice d'Euler notée et définie par , et si n est un entier supérieur à 1, est égal au nombre d'entier entre 0 et n-1 qui sont premiers avec n.
Il généralise le petit théorème de Fermat :
Si n et a sont deux entiers supérieurs ou égal à 1 et premiers entre eux , alors
En 1729 Goldbach transmet à Euler la conjecture de Fermat selon laquelle tout nombre de la forme est premier. Euler s'intéresse alors aux nombres premiers . Il lit les travaux de Fermat et en 1733 prouve que 641 est un diviseur de ce qui établit la fausseté de la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme .
Euler s’intéressa aussi aux nombres de Mersenne et montra que 431 est un diviseur de , que 1103 est un diviseur de et que 439 est un diviseur de . Il montrera plus tard , en utilisant la conjecture de Fermat citée ci-dessous, que est premier. Ce nombre restera le plus grand nombre premier connu jusqu'en 1867.
Il s'agit de la conjecture de Fermat suivante :
Si q est un entier premier tel que q divise (avec p premier différent de 2) alors il existe un entier naturel a tel que
Que l'on peut démontrer comme suit :
Si q est un diviseur premier de alors donc
Soit
X est un ensemble non vide de *donc X admet un plus petit élément. Soit k=minX.
Il existe un unique couple d'entiers (b,r) tels que p=bk+r et
donc donc, par minimalité de k, r=0 donc p=bk donc k divise p or p est premier donc k=1 ou k=p or donc k=p .
D'après le petit théorème de Fermat, comme 2 ne divise pas q on a donc en faisant le même raisonnement que précédemment k=p divise q-1 donc, il existe un entier h tel que q-1=hp donc q=hp+1. Si h est impair, alors hp est impair, donc q est pair or 2 ne divise pas donc h est pair donc il existe un entier a tel que q=2ap+1
Euler a également montré qu'un nombre impair supérieur à 1 qui est somme de deux carrés d'une seule façon, est un nombre premier si les deux carrés sont premiers entre eux .Ce résultat offre une nouvelle méthode pour démontrer qu'un nombre est premier.
Euclide avait démontré que si est un nombre premier, alors est un nombre parfait. (Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts) ; Euler démontra la réciproque à savoir que si n est un nombre parfait pair, alors il est de la forme où est un nombre premier.
La proposition d'Euclide peut se démontrer comme suit :
On note s(n) la somme des diviseurs stricts de n.
Si est premier alors les diviseurs stricts de sont : 1, 2, ,...,,,,,...,.
Or et
donc
La réciproque, démontrée par Euler, peut se démontrer comme suit :
On note, la somme des diviseurs de n.
Si a et b sont premiers entre eux alors.
Soit n un nombre parfait pair
Il existe donc un entier p différent de 0 et de 1 , il existe un entier q impair tel que
or q est premier avec donc== donc
or n est parfait donc donc donc
or donc s(q) est un diviseur strict de q donc s(q)=1 donc q est premier et
donc avec premier
Euler propose également le polynôme suivant qui donne des nombres premiers pour .
A ce propos, montrons qu'il n'existe pas de polynôme P non constant tel que pour tout entier naturel n, P(n) soit un nombre premier :
Si il existait un polynôme P tel que P(n) soit un nombre premier
Soit k, le degré de P et soit
P(0) est premier donc est premier.
Si :
Si , la limite de P(x) quand x tend vers plus l'infini est moins l'infini ; Ce qui est impossible car.
On a donc et la limite de P(x) quand x tend vers plus l'infini est plus l'infini
Donc
or tel que donc
or divise qui est premier donc or est premier : ce qui est impossible donc donc P est une constante
Par contre, il existe actuellement des fonctions f tels que f(n) soit premier pour tout entier n.
J. Minac et C Willans en ont trouvé une remarquable, publiée en 1995, donnant tous les nombres premiers à la suite et sans répétition . Cette formule, ci dessous, n'est malheureusement pas programmable et ne permet pas d' engendrer de grands nombres premiers.
où est le nombre premier
Euler montre aussi le théorème suivant qui peut être considéré comme la première tentative pour relier l'arithmétique, étude des quantité discrètes, à l'analyse , étude des quantités continues :
la somme des inverses des nombres premiers est divergente, ce que l'on connaît aujourd'hui sous le nom du théorème de raréfaction d'Euler :
Ce théorème, qui donne des indications sur la raréfaction des nombres premiers, indique que l'infini des nombres premiers est un gros infini, ce qui signifie que ceux-ci ne se raréfient pas très vite. En effet Legendre montrera que les nombres premiers se raréfient en montrant que l'ensemble des nombres premiers admet une densité limite nulle, c'est à dire si est le nombre de nombres premiers inférieurs à m alors tend vers 0 quand m tend vers l'infini. Ce théorème sera appelé le théorème de la raréfaction de Legendre.
Euler montrera plus généralement que pour tout nombre réel supérieur à 1 on a l'égalité
Toute égalité de ce type est appelée produit Eulérien.
D -GAUSS Carl Friedrich ( 1777 -1855)
Carl Friedrich Gauss estné le 30.04.1777 à Brunswick en Basse Saxe. C'est le fils d'un ouvrier pauvre.
Enfant prodige, il a été remarqué par son instituteur pour avoir calculé astucieusement la somme des entiers de 1 à 100.
Il obtient en 1792 une place au Collegium Carolinum à Brunswick, établissement créé pour accueillir les lycéens de talents et obtient une bourse du Duc de Brunswick.
Dès cette époque (1792) il étudie les tables de nombres premiers de J. Lambert et y découvre de nombreuses erreurs dont il fera part ultérieurement à l'astronome Johann Franz Encke : « Comme je n'ai pas la patience de vérifier les tables entièrement je me contente , lorsque j'ai un quart d'heure de libre, de vérifier un millier de nombres ici ou là ; j'ai fini par laisser tomber avant d'avoir pu vérifier le premier million , les nombres entre 101000 et 102000 fourmillement d'erreurs dans le supplément de Lambert ; dans mon exemplaire j'ai coché 7 nombres qui ne sont pas premiers, et j'ai dû , en revanche en ajouter deux qui manquaient. »
Cette pratique des nombres premiers l'amènera dès l'age de 15 ans à établir une conjecture sur la répartition des nombres premiers, à savoir que si est le nombre de nombres premiers inférieurs à m, alors est équivalent à la fonction lorsque m tend vers l’infini.
Cette découverte pourtant fondamentale n'a jamais été annoncée publiquement par Gauss.
Il en a fait part dans une lettre adressée à l'astronome Johann Franz Encke, en 1848.
En 1795, Gauss a quitté Brunswick pour étudier à l'université de Göttingen.
En 1796, à 19 ans, il fit une importante découverte : la construction d'un polygone régulier à 17 côtés à la règle et au compas. Cette construction l'a amené à la généralisation suivante : Un polygone régulier à n cotés est constructible à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2 ou le produit d'une telle puissance par un ou plusieurs nombres premiers de Fermat c'est à dire si , où les sont des nombres premiers de la forme . Ce fut l'avancée la plus importante dans ce domaine depuis l'époque des mathématiques grecques.
Cette découverte le détermina à devenir mathématicien et il commença à rédiger un journal personnel, retrouvé et publié après sa mort, qui ferra 19 pages où figurent les énoncés des résultats de ses travaux,
Toujours à 19 ans il découvre et démontre un remarquable théorème de la théorie de nombres, la loi de la réciprocité quadratique qui sera publiée dans «Disquisitiones arithmeticae» et dont l'énoncé est le suivant: Si p et q sont deux nombres premiers impairs, alors: où , qu'on nomme symbole de Legendre, vaut 1 par définition si est un carré modulo , et vaut -1 sinon.
A l'age de 20 ans, en1797, Gauss dit être tellement submergé d'idées mathématiques qu'il ne trouve le temps de n'écrire qu'une petite partie d'entre elles.
En 1799 Gauss passe son doctorat à l'Université de Helmstedt et soutient une thèse où il donne la première démonstration rigoureuse et complète du théorème fondamental de l'algèbre ou théorème de D'Alembert Gauss : ( Tout polynôme non constant à coefficient réel admet au moins une racine dans le corps des nombres complexes.)
Pour se démonstration, il introduit la représentation plane des nombres complexes.
Gauss publiera ultérieurement d'autres démonstrations de ce théorème.
En 1801, paraissent les « Disquisitiones arythmétiquæ » (recherches arithmétiques), œuvre de 500 pages en latin consacrée à la théorie des nombres, qui consolidera sa réputation. Il y crée la théorie des congruences qui avaient été souvent intuitivement perçue avant lui. Elle prend ici une forme rigoureuse qui en fait pour toujours un outil essentiel de l'arithmétique. Il y développe le petit théorème de Fermat et le théorème de Wilson. Il y fait l'étude des résidus quadratiques qui est à la base d’algorithmes rapides permettant de savoir si un nombre est premier ou non, sans avoir à trouver une factorisation explicite. Il y démontre aussi, de deux manières différentes, la loi de réciprocité quadratique :Au cours de sa vie, il donnera six autres preuves de cette loi.
Deux ans après sa thèse, il se tourne vers l'astronomie, calcule l'orbite et détermine la position de l’astéroïde Cérès par la méthode des moindres carrés, ce qui contribua à sa réputation quand l'astronome Zach l'observera à l'endroit prévu.
En 1807, il est nommé directeur de l'observatoire de Göttingen en basse Saxe et professeur d'astronomie et y restera toute sa vie. Il entreprendra l'édification de l'observatoire.
En 1809, la mort de sa première femme Johanna décédée en accouchant de son troisième enfant le brisera moralement. Il se remariera deux ans plus tard avec la meilleure amie de sa femme.
En 1821, il est nommé conseiller scientifique pour l'établissement du cadastre dans le Gouvernement du Danemark et du Hanovre dont dépend Gottingen.
Il s'occupe de la cartographie de son pays, allant de village en village. Il s'y consacrera 8 ans et invente l'héliotrope qui permet par la réflexion du soleil de faire des alignements précis et de réaliser des triangulations à grande distance( méthode utilisée jusqu'à l'apparition de la photographie aérienne).
En 1831, il commence une collaboration avec le physicien Wilhelm Weber , contrairement à son habitude de travailler en solitaire, et il se tourne vers la physique étudiant le magnétisme et l'électricité.
Gauss publie en 1828 et 1832 deux volumes sur les résidus biquadratiques « Theoria residuorum biquadraticurum ». Il y introduit les nombres complexes de la forme où x et y sont des entiers relatifs. Ces nombres sont désormais connus sous le nom d'entiers de Gauss.
Gauss démontre qu'ils partagent avec les entiers naturels de nombreuses propriétés : existence de nombres premiers, décomposition en nombres premiers, etc.
Gauss déteste l'enseignement, mais à la fin de sa carrière il se soucie enfin de former quelques étudiants avec un grand succès comme en témoignent les plus célèbres, Eisenstein, Dedekind, Riemann, Cantor .
Beaucoup de ses idées n'ont pas été publiées, telles l'idée d'une géométrie non euclidienne (ne s'appuyant pas sur le postulat des parallèles d'Euclide) à laquelle il s'est intéressé dès son adolescence en 1792 et qu'il développa de 1813 à 1820. Ses notes et correspondances à ce sujet ne seront connus qu'en 1855. Réticent à l'idée de dévoiler une idées sans démonstration , fidèle à sa devise « Pauca sed matura » (peu mais mûr) il ne publiait que des textes affinés et des démonstrations rigoureuses.
Le 23 février 1855 il meurt dans son sommeil, à Göttingen ; une pièce commémorative fut frappée à son effigie, à la demande du roi du Hanovre, portant l'inscription « Mathématicorum Principi » (au Prince des mathématiciens)
Il aura dominé les mathématiques du 18 ème siècle et reste toujours présent dans tout l'univers des mathématiques.
IV – CONCLUSION
Le problème de la répartition des nombres premiers fascine les mathématiciens.
Euler ne trouvait aucun ordre dans la suite des nombres premiers. D'ailleurs il écrivait : « Les mathématiciens ont tâché jusqu'ici en vain de découvrir quelque ordre dans la progression des nombres premiers , et l'on a lieu de croire que c'est un mystère auquel l'esprit humain ne saurait jamais pénétrer . Pour s'en convaincre, on n'a qu'a jeter les yeux sur les tables des nombres premiers que quelques uns se sont donné la peine de continuer au delà de 100 000 et l'on s'apercevra d'abord qu'il n'y règne aucun ordre ni règle. ».
Gauss a été l'un des premiers à se pencher sur la répartition des nombres premiers et à y trouver un certain ordre, à savoir que , le nombre de nombres premiers inférieurs à m, est équivalent à quand m tend vers l'infini.
En fait cette conjecture a été publiée par Legendre et ne fut démontrée qu'ultérieurement, grâce aux travaux de Riemann, par Jacques Hadamard et Charles Jean de La Vallée Poussin, qui ont donné leur nom à ce théorème dit «Théorème de raréfaction »
Euler avait déjà commencé à faire le lien entre l'analyse réelle et l'arithmétique. Riemann, élève de Gauss, fera le lien entre l'analyse complexe et l’arithmétique, en établissant un « rapport » entre le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée et les zéros non réels de la fonction ( définie par ) prolongée dans le plan complexe. Cette conjecture ou hypothèse de Riemann, qui avance un certain degré d'organisation dans l'univers des nombres
premier, a bouleversé leur étude et soulevé l'un des problèmes les plus important dans ce domaine.
D'autre part, de nos jours, les enjeux économiques considérables de la transmission confidentielle de données ont réactualisé l’intérêt porté aux nombres premiers.
S'il existe actuellement de nombreux tests pour reconnaître la primalité d'un nombre premier de grande taille ( de l'ordre de ), il est quasiment impossible de factoriser des entiers de l'ordre du carré de cette taille et c'est sur ce fait que repose aujourd’hui le codage utilisé pour la transmission de données secrètes.
Le comportement des nombres premiers a toujours intrigué les mathématiciens et a fait dire à Paul Erdos « Dieu ne joue peut-être pas aux dés avec l'univers, mais il se passe quelque chose d'étrange avec les nombres premiers »
Bibliographie :
Euclide LES ELEMENTS (traduits du texte de Heiberg) volume II traduction et commentaires de Bernard Vitrac Presses Universitaires de France.
Jean Pierre Escofier HISTOIRE DES MATHEMATIQUES Dunod Paris 2008
Jean-Paul Delahaye Merveilleux nombres premiers Belin.POUR LA SCIENCE 20007
Jean Itard Les livres arithmétiques d'Euclide Editions scientifiques Hermann 1962
Bernard Hauchecorne et Daniel Surreau DES MATHEMATICIENS de A à Z ellipses
Jean-Jacques SAMUELI Jean-claude BOUDENOT Trente livres de MATHEMETIQUES qui ont changés le monde Ellipse Édition Marketing
André Warusfel Euler les mathématiques et la vie Vuibert mai 2009
V - DÉFINITIONS ET DÉMONSTRATIONS DU LIVRE D'EUCLIDE MENTIONNÉES DANS L'EXPOSÉ
LIVRE VII ÉLÉMENTS DÉFINITIONS
1.L'unité est ce suivant quoi chacune des choses existantes est dite
une.
2. Le nombre est une multitude composée d'unités.
3. Un nombre est une partie d'un nombre, le plus petit du plus
grand, lorsqu'il mesure le plus grand.
4. Mais il est plusieurs parties, lorsqu'il ne le mesure pas.
5. Un plus grand nombre est multiple d'un plus petit, lorsqu'il est
mesuré par le plus petit.
6. Le nombre pair est celui qui se laisse mipartir.
7. L'impair est celui qui ne peut pas se mipartir, ou qui diffère
d'un nombre pair de l'unité.
8. Le nombre pairement pair est celui qui est mesuré par un
nombre pair au moyen d'un nombre pair.
9. Le pairement impair est celui qui est mesuré par un nombre pair
au moyen d'un nombre impair.
10. Le nombre impairement impair est celui qui est mesuré par un
nombre impair au moyen d'un nombre impair.
11. Le nombre premier est celui qui est mesuré par la seule unité.
12. Les nombres premiers entre eux sont ceux qui sont mesurés par
la seule unité comme commune mesure.
13. Le nombre composé est celui qui est mesuré par quelque nombre.
14. Les nombres composés entre eux sont ceux qui sont mesurés
par quelque nombre comme commune mesure.
15. Un nombre est dit multiplier un nombre lorsque, autant il y a
en lui d'unités, autant de fois est composé le multiplié, et que
quelqu'autre est produit.
16. Et lorsque deux nombres se multipliant entre eux créent un
nombre, le produit est dit plan et les nombres qui se multiplient
entre eux sont ses côtés.
17. Et lorsque trois nombres se multipliant entre eux créent un
nombre, le produit est dit solide et les nombres qui se multiplient
entre eux sont ses côtés.
18. Le nombre carré est celui qui est également égal, ou qui est
contenu sous deux nombres égaux.
19. Le cube est celui qui est également égal également, ou qui est
contenu sous trois nombres égaux.
20. Des nombres sont proportionnels quand le premier est le même
multiple, ou la même partie, ou les mêmes parties du second que le
troisième du quatrième.
21. Les nombres plans et solides semblables sont ceux qui ont leurs
côtés proportionnels.
22. Le nombre parfait est celui qui est égal à ses parties.
PROPOSITIONS :
LIVRE VII PROPOSITION 29
Tout nombre premier est premier avec tout nombre qu'il ne
mesure pas.
A |____________| C |________|
B |____________________|
Qu'un nombre A soit premier et ne mesure pas B. Je dis que B,
A sont premiers entre eux. Car si B, A ne sont pas premiers entre
eux, un certain nombre les mesurera. Que C les mesure116.
Puisque C mesure B et que A ne mesure pas B, le [nombre] C
n'est donc pas le même que A. Et puisque C mesure B, A, il mesu¬
re donc aussi A, qui est premier, tout en n'étant pas le même
[nombre] que lui; ce qui est impossible. Donc aucun nombre ne
mesurera B, A. Donc A, B sont premiers entre eux. Ce qu'il fallait
démontrer.
LIVRE VII PROPOSITION 30
Si deux nombres se multipliant l'un l'autre produisent un cer¬
tain [nombre] et si un certain nombre premier mesure leur
produit, il mesurera aussi l'un des nombres initiaux.
A |_________| | ______| D
B |______________| | ___________| E
C |__________________________|
En effet, que deux nombres A, B, se multipliant l'un l'autre
produisent C, et qu'un certain nombre premier D mesure C. Je
dis que D mesure l'un des [nombres] A, B.
En effet, qu'il ne mesure pas A. Et D est premier; donc A, D
sont premiers entre eux (VIL 29). Et qu'autant de fois que D mesure
C, autant il y ait d'unités dans E. Or puisque D mesure C selon les
unités dans E, le [nombre] D multipliant E a donc produit C. Mais
A multipliant B a aussi produit C ; donc le produit des D, E est égal
au produit des A, B. Donc comme D est à A ainsi [est] B à E (VIL
19). Mais D, A sont premiers entre eux, et les premiers sont les plus
petits (VIL 21), et les plus petits mesurent ceux qui ont le même rap¬
port qu'eux autant de fois, le plus grand le plus grand, et le plus petit
le plus petit (VIL 20), c'est-à-dire l'antécédent, l'antécédent, et le
conséquent, le conséquent. Donc D mesure B.
Alors semblablement nous démontrerons que s'il ne mesure
pas B, il mesurera A. Donc D mesure l'un des [nombres] A, B. Ce
qu'il fallait démontrer.
LIVRE VII PROPOSITION 31
Tout nombre composé est mesuré par un certain nombre pre¬
mier.
A |_________________________|
B |_____________________|
C |_____|
Soit un nombre composé A. Je dis que A est mesuré par un
certain nombre premier.
En effet, puisque A est composé, un certain nombre le mesure¬
ra. Qu'il le mesure et que ce soit B. Et si B est premier, ce qui était
prescrit aura été fait123. S'il est composé, un certain nombre le
mesurera. Qu'il le mesure et que ce soit C. Et puisque C mesure B
et que B mesure A, le [nombre] C mesure donc aussi A. Et, d'une
part si C est premier, ce qui était prescrit aura été fait, d'autre part
s'il est composé, un certain nombre le mesurera. Alors l'investiga¬
tion étant poursuivie de cette façon, un certain nombre premier
sera trouvé qui mesurera [A]124. Car s'il ne s'en trouvait pas, des
nombres en quantité illimitée mesureraient le nombre A, dont
chacun serait plus petit que le précédent; ce qui est impossible
dans les nombres. Donc un certain nombre premier sera trouvé
qui mesurera le [nombre] précédent et qui mesurera aussi A.
Donc tout nombre composé est mesuré par un certain nombre
premier. Ce qu'il fallait démontrer.
LIVRE VII PROPOSITION 32
Tout nombre est soit premier soit mesuré par un certain
nombre premier.
A _______________________
Soit un nombre A. Je dis que A est soit premier, soit mesuré
par un certain nombre premier.
Or d'une part si A est premier, ce qui était prescrit aura été
fait125. D'autre part s'il est composé, un certain nombre premier le
mesurera (VIL 31). Donc tout nombre est soit premier soit mesu¬
ré par un certain nombre premier. Ce qu'il fallait démontrer.
LIVRE IX PROPOSITION 14
Si un nombre [est] le plus petit qui soit mesuré par des nombres
premiers, il ne sera mesuré par aucun autre nombre premier
excepté ceux qui le mesurent initialement.
En effet, que A soit le plus petit nombre mesuré par les
nombres premiers B, C, D. Je dis que A ne sera mesuré par aucun
autre nombre premier, excepté B, C, D.
En effet, si c'est possible, qu'il soit mesuré par E, premier, et
que E ne soit pas le même que l'un quelconque des B, C, D. Et
puisque E mesure A, qu'il le mesure selon F ; donc E multipliant
F a produit A. Et le [nombre] A est aussi mesuré par les nombres
premiers B, C, D. Et si deux nombres, se multipliant l'un l'autre
produisent un certain nombre, et qu'un certain nombre premier
mesure leur produit, il mesurera aussi l'un des [nombres] initiaux
(VIL 30) ; les [nombres] B, C, D mesureront donc l'un des
[nombres] E, F. Or ils ne mesureront pas E ; car E est premier et
[n'est] pas le même que l'un quelconque des B, C, D. Ils mesurent
donc F, lequel est plus petit que A : ce qui est impossible. Car A
est supposé être le plus petit [nombre] mesuré par B, C, D. Donc
A ne sera pas mesuré par un nombre premier, excepté B, C, D. Ce
qu'il fallait démontrer.
LIVRE IX PROPOSITION 20
Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude
de nombres premiers proposée.
A |________| | ________________| C
B | _______________| ___________________|
E |________________________________________|____| F
D
Soient les nombres premiers proposés A, B, C. Je dis que les
nombres premiers sont plus nombreux que A, B, C.
En effet, que soit pris le plus petit [nombre] mesuré par A, B,
C35, et que ce soit DE et que l'unité DF soit ajoutée à DE. Alors
ou bien EF est premier ou bien non. D'abord qu'il soit premier ;
donc sont trouvés les nombres premiers A, B, C, EF, plus nom¬
breux que A, B, C.
Mais alors que EF ne soit pas premier ; il est donc mesuré par
un certain nombre premier (VII. 32). Qu'il soit mesuré par le
[nombre] premier G. Je dis que G n'est pas le même que l'un
quelconque des A, B, C. En effet, si c'est possible, qu'il le soit. Or
A, B, C mesurent DE ; donc G mesurera aussi DE. Mais il mesure
aussi EF ; il mesurera aussi l'unité DF restante tout en étant un
nombre ; ce qui est absurde. G n'est donc pas le même que l'un
des A, B, C. Et il est supposé premier. Donc sont trouvés les
nombres premiers A, B, C, G, plus nombreux que la multitude
proposée des A, B, C. Ce qu'il fallait démontrer.
