Exercice de terminale

Voici l'exercice destiné à la classe de terminale :

Soit SABC un tétraèdre quelconque et A', B', C'  trois points appartenant respectivement aux arêtes [SA],[SB] et [SC]. On suppose que A', B' et C' sont tels que les trois couples de droites (AB) et (A'B'), (BC) et (B'C'), (CA) et (C'A') se coupent respectivement en C1 , A1, et B1

1. Reproduire la figure ci-dessus avec un logiciel de géométrie dans l'espace dynamique. Les points A', B' et C' sont libres sur les segments [SA], [SB] et [SC].

2. Faire varier les points A', B' et C' de telle sorte que les points A1 , B1, et C 1 existent. Que peut-on alors conjecturer pour, A1 , B1 et C 1 ?

3, Démontrer cette conjecture.

4. On se place dans le cas où les droites (CA) et (C'A') sont parallèles et où les points C 1 et A1 existent. a. Conjecturer à l'aide du logiciel une caractéristique de la droite (C1 A1) dans cette hypothèse.

b, Démontrer cette conjecture. On pourra considérer l'intersection des plans (ABC), (A'B'C') et (SAC).